首先,设置这个微分方程的初值条件.然后解决,一个容器里面有300加仑的盐水,盐水里面包含30英镑的盐.另外还有一瓶盐水其浓度是4英镑/加仑.把这瓶盐水以3加仑/分钟的速度导入容器里面,并且

Question

首先,设置这个微分方程的初值条件.然后解决,一个容器里面有300加仑的盐水,盐水里面包含30英镑的盐.另外还有一瓶盐水其浓度是4英镑/加仑.把这瓶盐水以3加仑/分钟的速度导入容器里面,并且均匀搅拌.然后再以 4加仑/分的速度让盐水从容器里面流出.设y(t) = 所有的盐在这个容易里面当时间是t的时候.求,y(t).

Answer 1

y(t)表示t时刻为容器当中盐总量,那么y'(t)就是t时刻容器内盐总量增加（减少）的瞬时速度.
vr=3*4表示盐进入的速度.
vc=4*m表示盐流出的速度.其中m表示溶液当前的盐密度,注意它是t的函数.
那么方程就可以列出来
y'(t)=vr-vc=12-4m(t)（方程1）,解读为盐在t时刻增加（减少）的速度等于盐流入的速度减去盐流出的速度.
密度m(t)=y/V,注意到y和V均为时间t的函数,解读为t时刻溶液密度等于t时刻溶液中盐的重量除以t时刻溶液体积.其中V(t)=300+3t-4t,所以m=y/(300+3t-4t) 方程2.
方程2带入方程1可得最终结果：
y'=3*4-4y/(300+3t-4t)
其中y是t的函数.
注意到,t=0时刻,溶液中盐的总量y(0)=30已知,溶液中盐的增加（减少）速度y'(0)=0已知.
所以,问题转化为微分方程y'=3*4-4y/(300+3t-4t),t=0时,y(0)=30,初值问题的解.
此方程可用求根公式很简单的求得解析解.我解的结果是
y =1200 - (13*(t - 300)^4)/90000000 - 4*t