证ln（1+x）小于1+1/2+1/3+.+1/n

Question

证ln（1+x）小于1+1/2+1/3+.+1/n

Answer 1

这需要高中阶段一个很重要的不等式In（x+1）小于等于x（可以求导证明,且当且仅当x=0时取等号）
令x=1/n,则In(1/n+1)小于1/n,即In(n+1)-Inn小于等于1/n
分别令n=1,2,3...n
可得In2-In1小于1
.
.
In(n+1)-Inn小于1/n
以上各式相加可得In(n+1)-In1小于1+1/2+1/3+.+1/n
即ln（1+x）小于1+1/2+1/3+.+1/n