求用数学归纳法来证明设sinα是sinθ,cosθ的等差中项,sinβ是sinθ,cosθ的等比中项,求证：cos4β-4cos4α=3

Question

求用【数学归纳法】来证明
设sinα是sinθ,cosθ的等差中项,sinβ是sinθ,cosθ的等比中项,求证：cos4β-4cos4α=3

Answer 1

证：∵ sinα是sinθcosθ的等差中项,sinβ是sinθcosθ的等比中项
∴ 2sinα＝sinθ+cosθ sinβ^2=sinθcosθ
∵ sinθ^2+cosθ^2=1
∴4sinα^2=(sinθ+cosθ)^2
=sinθ^2+cosθ^2+2sinθcosθ
=1+2sinβ^2
则得出：4sinα^2=1+2sinβ^2 ①
∵ cos2α＝1-2sinα^2 cos2β=1-2sinβ^2
∴ 4sinα^2=2-2cos2α
1+2sinβ^2=2-cos2β
由①式得：
cos2β＝2cos2α ②
∵cos4β=2cos2β^2-1 cos4α=2cos2α^2-1
∴ 由②式得：
cos4β-cos4α＝2cos2β^2-1-cos4α
=8cos2α^2-1-cos4α
=4cos4α+3-cos4α
=3cos4α+3
左右移项得：cos4β-4cos4α=3
证毕!