已知三角形ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB//l.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及三角形ABC的面积;(2)当角ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.

Question

已知三角形ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB//l.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及三角形ABC的面积;
(2)当角ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.

Answer 1

1.设AB所在直线的方程为y=x
与x²+3y²=4联立得
x²-1=0
设A、B两点坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
AB=2√2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=|0-2|/√2=√2
S△ABC=1/2 |AB|•h=2
2.设AB所在直线的方程为y=x+m
与x²+3y²=4联立得
4x²+6mx+3m²-4=0
x1+x2=-3m/2
x1x2=（3m²-4）/4
所以|AB|=√2|x1-x2|=√（32-6m²)/2
因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离,即|BC|=|2-m|/√2
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11
所以当m=-1时,AC边最长,（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1