如图，△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且BC和高线AD的值是有理数，问矩形PQRS的周长值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

Question

如图，△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且BC和高线AD的值是有理数，问矩形PQRS的周长值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

Answer 1

设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=(1)/(3)×(1)/(2)ah=(1)/(6)ah，(h−y)/(h)=(x)/(a)；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (1)/(3)111333×(1)/(2)ah=(1)/(6)ah，(h−y)/(h)=(x)/(a)；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (1)/(2)111222ah=(1)/(6)ah，(h−y)/(h)=(x)/(a)；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (1)/(6)111666ah，(h−y)/(h)=(x)/(a)；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (h−y)/(h)h−yh−yh−yhhh=(x)/(a)；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (x)/(a)xxxaaa；
即hx+ay=ah，hx•ay=(1)/(6)a²h²
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (1)/(6)111666a²2h²2
解得

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

x＝(3+√(3))/(6)a

y＝(3−√(3))/(6)h

x＝(3+√(3))/(6)ax＝(3+√(3))/(6)ax＝(3+√(3))/(6)3+√(3)3+√(3)3+√(3)

3

33666ay＝(3−√(3))/(6)hy＝(3−√(3))/(6)hy＝(3−√(3))/(6)3−√(3)3−√(3)3−√(3)

3

33666h
∴周长l=2（x+y）=a+h±(a−h)/(√(3))
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数． (a−h)/(√(3))a−ha−ha−h√(3)√(3)√(3)

3

33
当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．