设是一个阿贝尔群,a,b属于G,a的阶为7,b的阶为5,a*b的阶为多少?thankyou!

Question

设是一个阿贝尔群,a,b属于G,a的阶为7,b的阶为5,a*b的阶为多少?
thank you!

Answer 1

设阶为m,因为G是阿贝尔群,根据阶的定义
（ab）^m=e=a^m * b^m,因为a的阶是7,b的阶是5,∴（ab）^35=e,
∴m|35,则m可能为1,5,7,35
若m=1,则a=b^(-1),则a、b的阶相同,矛盾；
若m=5,则a^5=e,与a的阶为7矛盾；
若m=7,则有b^7=e=b^5,于是b^2=e,而2＜5,矛盾；
因此m=35
（本人能力有限,感觉应该有更简单的方法,但暂时想不到,只能这样了,