抛物线C1的顶点在坐标原点,它的准线经过椭圆C2:x2/a2-y2/b2=1的一个焦点F1且垂直于C2的两个焦点所在的轴若抛物线C1与椭圆C2的一个交点是M（2/3,2根号6/3）,求抛物线C1与椭圆C2的方程

Answer 1

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>1)的焦点F1（±c,0）在X轴,抛物线的准线过F1,且垂直于x轴,所以抛物线的焦点在X轴；
抛物线与椭圆的交点是M（2/3,2根号6/3),也就是说抛物线的开口方向为X轴的正向,
设抛物线的方程为y2=2px,(p>0)①,因为M（2/3,2根号6/3)在抛物线上,
代入①中,解得：p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,
又抛物线的准线过椭圆的焦点F1,则F1（-1,0）,c=1
将M（2/3,2根号6/3)代入x^2/a^2+y^2/b^2=1中,整理得：4/a2+24/b2=9②
将b2=a2-c2=a2-1代入②中,解得：a2=1/9(舍去),a2=4,则b2=3
所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1
抛物线的准线过椭圆的焦点,由于椭圆焦点在x轴上,抛物线与椭圆焦点在第一象限,所以设y^2=4cx,过点M可求得c=1,a^2-b^2=1
而椭圆由过点M,9/4a^2+8/3b^2=1
a^2=?b^2=?
原方可求得
算数可自行求得