已知tana+sina=b,tana-sina=c,求证（b²-c²）²=16bc

Question

已知tan a+sin a=b,tan a-sin a=c,求证（b²-c²）²=16bc

Answer 1

设x,y,z为一直角三角形的三边,其中x为角a的对边,y为另一直角边,z为斜边.
所以tan a=x/y,sin a=x/z.x²+y²=z².
已知条件变为b=x/y +x/z ,c=x/y-x/z.
将b c带入要求证的等式两边,
左边=（b²-c²）²=x²/y² +x²/z² -2x²/yz -x²/y² -x²/z² +2x²/yz ）²=16x^4/(yz)²
右边=16bc=16×（x²/y² -x²/z²）=16x²（z²-y²）/y²z²因为x,y,z为直角三角形的三边,所以z²-y²=x²,原式化为16x^4/(yz)²
左右两边相等,均为16x^4/(yz)²,所以等式成立.