在平面直角坐标系中,A(-8.x+2)B(3-x,3x-6）,AB垂直于y轴与点D,点B在点O的北偏西n°（1）求S△AOB的值（2）已知E在AD的延长线上,F在y轴上,若F在E的北偏西n°,连接OE,求证：∠FEO＋∠BOE=180°（3）现将

Question

在平面直角坐标系中,A(-8.x+2) B(3-x,3x-6）,AB垂直于y轴与点D,点B在点O的北偏西n°
（1）求S△AOB的值
（2）已知E在AD的延长线上,F在y轴上,若F在E的北偏西n°,连接OE,求证：∠FEO＋∠BOE=180°
（3）现将△AOD沿着某一方向以2个单位长度／秒的速度平移5秒,若AO=10,记△AOD经过的部分的面积为S,问你能求出S的范围吗?若能,请求出这个范围；若不能请说明理由.

Answer 1

（1）
因为 AB垂直于 y 轴
所以 AB平行于 x 轴
所以 A、B两点的纵坐标相等
所以 x + 2 = 3x -- 6
解得：x = 4
所以 点A的纵坐标为：x + 2 = 4 + 2 = 6
点B的横坐标为：3 --x = 3 -- 4 = -- 1
点B的纵坐标为：3x -- 6 = 3 × 4 -- 6 = 6
所以 点A的坐标为：A（-- 8,6）
点B的坐标为：B（-- 1,6）
求△AOB的面积,较好的方法是：
以 AB 为底,以 点O到AB的距离为高h.
在△AOB 中,
A、B两点间的距离等于B点的横坐标 减去 A点的横坐标.
即：线段的AB长为：AB = （-- 1）--（-- 8）= 7.
（注：这一知识点类似于求数轴上联点间的距离,
用右边的大值减去左边的小值即可.）
因为 A、B两点的纵坐标均为6
所以 点O到AB 的距离为6
即：△AOB的边AB上的高为 h = 6
所以 S△AOB =（1/2）× AB × h
=（1/2）× 7 × 6
= 21.
（2）
由题意,点B在点O的北偏西n°,所以∠BOD = n°.
过点E作y 轴的平行线MN（M在上、N在下）,
因为 F在E的北偏西n°,
所以 F必位于y 轴的正半轴且∠FEM = n°.
所以 ∠BOD = ∠FEM = n°
因为 MN ‖ y 轴
所以 ∠DOE = ∠OEN （两直线平行,内错角相等）
因为 ∠MEN 是平角
所以 ∠MEN = 180°
即：∠FEM + ∠FEO + ∠OEN = 180°
把∠FEM = n° 和 ∠DOE = ∠OEN 代入上式,得：
n° + ∠FEO + ∠DOE = 180°
所以 ∠FEO +（n° + ∠DOE）= 180°
所以 ∠FEO + （∠BOD + ∠DOE）= 180°
所以 ∠FEO ＋ ∠BOE = 180°.
本问还可以这样
因为 BO 和 FE 均是 “北偏西n° ” 的走向
所以 BO ‖ FE
所以 ∠F = ∠BOD （两直线平行,内错角相等）
在 △FEO 中,由内角和定理知：∠FEO + （∠F + ∠FOE） = 180°
把∠F = ∠BOD 代入上式,得：∠FEO + （∠BOD + ∠FOE） = 180°
所以 ∠FEO + ∠BOE = 180°.
（3）S的范围是：48 ≤ S ≤ 100.理由如下：
① 将△AOD平移,沿OA方向朝 左上方或 右下方 平移时,
△AOD扫过的部分 是一个平行四边形,
以沿OA方向朝 右下方 平移 为例,
点A运动距离为：2 × 5 = 10,而 AO = 10,则点A刚好运动至点O,
点D则运动至 x 轴正半轴上,计作点D' ,计算此平行四边形的面积,
以AD 或 OD’为底,以AD 与 OD‘ 间的距离H为高 较简便.
底为：AD = 8,高H = OD = 6
所以 S = AD × H = 8 × 6 = 48,此情形下 S 最小,最小值为 48.
② 将△AOD平移,沿垂直于OA方向朝 右上方或 左下方 平移时,
点A 和 点O 运动的距离均为2 × 5 = 10,而 AO = 10,
所以 △AOD扫过的部分 是一个正方形.
此情形下S 最大,最大值为：10 × 10 = 100.
综上,△AOD经过的部分的面积S 的范围是：48 ≤ S ≤ 100.
祝您学习顺利!