在坐标平面内有一点列An（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段AnAn+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{xn}的通项公式xn

Question

在坐标平面 内有一点列A_n（n=0，1，2，…），其中A₀（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A_nA_n+1所在直线的斜率为2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出数列{x_n}的通项公式x_n
（3）设数列{nx_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

（1）A₀（0，0），A₁（x₁，1），A₂（x₂，2）直线A₀A₁的斜率为2⁰=1，
∴x₁=1
直线A₁A₂的斜率为2，(2-1)/(x2-x1)=2，
∴x2=(3)/(2)
（2）当n≥1时，A_n（x_n，n），A_n+1（x_n+1，n+1），
∴(n+1-n)/(xn+1-xn)=2n，xn+1-xn=((1)/(2))nx2-x1=(1)/(2)，x3-x2=((1)/(2))2，x4-x3=((1)/(2))3，…，xn-xn-1=((1)/(2))n-1
累加得：xn-x1=(1)/(2)+(1)/(22)+…+((1)/(2))n-1=1-((1)/(2))n-1，xn=2-((1)/(2))n-1，
检验当n=1时也成立，
∴xn=2-((1)/(2))n-1(n∈N*)
（3）nxn=2n-(n)/(2n-1)，令b_n=2n，对应的前n项和T_n=n（n+1）令cn=(n)/(2n-1)，对应的前n项和HnHn=1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n)/(2n-1)(1)/(2)Hn=(1)/(2)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n-1)/(2n-1)+(n)/(2n)
两式相减得：(1)/(2)Hn=1+(1)/(2)+(2)/(22)+…+(1)/(2n-1)-(n)/(2n)
∴Hn=4-(2+n)/(2n-1)
∴Sn=n2+n-4+(2+n)/(2n-1)