.P是边长为a的等边三角形ABC内一点,PC=b,∠APC=150,∠APB=120.试用含、的代数式分别表示AP、PB的长.

Question

.P是边长为a的等边三角形ABC内一点,PC=b,∠APC=150,∠APB=120.试用含 、 的代数式分别表示AP、PB的长.

Answer 1

P是边长为a的等边三角形ABC内一点,PC=b,∠APC=150,∠APB=120.试用含a 、b的代数式分别表示AP、PB的长.
因为,∠APC=150,∠APB=120
所以∠BPC=90°
在直角三角形BCP中,由勾股定理,得,BP^2=BC^2-PC^2
即BP=√(a^2-b^2)
将△APC绕点A顺时针旋转60°到△AP'B,
显然∠P'AP=60,△APC≌△AP'B,
所以BP'=CP,P'A=PA,
所以△APP'是等边三角形
所以PP'=AP,∠AP'P=60,
所以∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=90
在直角三角形BP'P中,由勾股定理,得,
PP'^2=BP^2-BP'^2
=(√(a^2-b^2))^2-b^2
=a^2-2b^2
所以PA=PP'=√(a^2-2b^2)