直角三角形ABC,角C=90度,O点在三角形内,使得AOB、BOC、COA三个三角形的面积相等.求（OA的平方）与（OB的平方之和）,与（OC的平方）的比值.

Question

直角三角形ABC,角C=90度,O点在三角形内,使得AOB、BOC、COA三个三角形的面积相等.
求（OA的平方）与（OB的平方之和）,与（OC的平方）的比值.

Answer 1

过O分别做AC BC的垂线,交AC BC于D E
则由面积关系可知OD=1/3BC,OE=1/3AC,且CEOD为矩形
故AD=2/3AC,BE=2/3BC.
OA^2=(2/3AC)^2+(1/3BC)^2
OB^2=(2/3BC)^2+(1/3AC)^2
所以OA^2+OB^2=5[(1/3AC)^2+(1/3BC)^2]=5OC^2.
答案为5.