如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

Question

如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

Answer 1

证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，

BD＝CD

∠BDF＝∠CDM

DF＝DM

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，

BD＝CD

∠BDM＝∠CDA

DM＝DA

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．