如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，四棱锥B-AA1C1D的体积为3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求二面角C-BC1-D的正切值．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．

（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B是平行四边形，∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，∴OD为△AB₁C的中位线，∴OD∥AB₁，
∵OD⊂平面BC₁D，AB₁⊄平面BC₁D，∴AB₁∥平面BC₁D
（2）依题意知，AB=BB₁=2，∵AA₁⊥底面ABC，AA₁⊂底面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C．
设BC=a，在Rt△ABC中，BE=(AB•BC)/(AC)=(2a)/(√(4+a2))
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=(1)/(3)×(1)/(2)（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=a=3，即BC=3
取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁与N，连接DN，则DN⊥BC₁，
∠DNM为二面角C-BC₁-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=(3)/(√(13))，tan∠DNM=(√(13))/(3)，
∴二面角C-BC₁-D的正切值为(√(13))/(3)