已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（1）求函数的定义域；（2）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论；（3）当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最大值．

Question

已知函数f（x）=(1+ln(x+1))/(x)
（1）求函数的定义域；
（2）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（3）当x＞0时，f（x）＞(k)/(x+1)恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

（1）根据函数f（x）=(1+ln(x+1))/(x)，可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函数的定义域为 {x|x＞-1，且 x≠0}．
（2）f′（x）=(1)/(x2)[(x)/(x+1)-1-ln（x+1）]=-(1)/(x2)[-(x)/(x+1)+ln（x+1）+1]．
当 x＞0 时，1＞(x)/(x+1)＞0，ln（x+1）＞0，(1)/(x2)＞0，∴f′（x）=-(1)/(x2)[-(x)/(x+1)+ln（x+1）+1]＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
当 0＞x＞-1 时，令g（x）=[(x)/(x+1)+ln（x+1）+1]，g′（x）=-(1)/((x+1)2)+(1)/(x+1)=(x)/((x+1)2)＜0，
故g（x）在（-1，0）上是减函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，故 f′（x）=-(1)/(x2)[(x)/(x+1)+ln（x+1）+1]＜0，故函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
 综上可得，函数f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是减函数．
（3）当x＞0时，f（x）＞(k)/(x+1)恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 为正整数，故k的最大值不大于3．
下面证明k=3 时，f（x）＞(k)/(x+1) （x＞0）恒成立，即证当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，则 h′（x）=ln（x+1）-1．
当 x＞e-1时，h′（x）＞0，当 0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，故当 x=e-1时，h（x）取得最小值为 h（e-1）=3-e＞0．
故当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，故k的最大值为3．