已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)求函数的定义域;(2)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论;(3)当x>0时,f(x)>kx+1恒成立,求正整数k的最大值.
已知函数f(x)=
(1)求函数的定义域;
(2)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论;
(3)当x>0时,f(x)>恒成立,求正整数k的最大值.
答案和解析
(1)根据函数f(x)=
,可得 x≠0,且 x+1>0,由此求得函数的定义域为 {x|x>-1,且 x≠0}.
(2)f′(x)=[-1-ln(x+1)]=-[-+ln(x+1)+1].
当 x>0 时,1>>0,ln(x+1)>0,>0,∴f′(x)=-[-+ln(x+1)+1]<0,故函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
当 0>x>-1 时,令g(x)=[+ln(x+1)+1],g′(x)=-+=<0,
故g(x)在(-1,0)上是减函数,故g(x)>g(0)=1>0,故 f′(x)=-[+ln(x+1)+1]<0,故函数f(x)在(-1,0)上是减函数.
综上可得,函数f(x)在(0,+∞)、(-1,0)上是减函数.
(3)当x>0时,f(x)>恒成立,令x=1可得,k<2(1+ln2),再由k 为正整数,故k的最大值不大于3.
下面证明k=3 时,f(x)> (x>0)恒成立,即证当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.
令h(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,则 h′(x)=ln(x+1)-1.
当 x>e-1时,h′(x)>0,当 0<x<e-1时,h′(x)<0,故当 x=e-1时,h(x)取得最小值为 h(e-1)=3-e>0.
故当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立,故k的最大值为3.
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