如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，点D为A1C1的中点．求证：（1）BC1∥平面AB1D；（2）A1C⊥平面AB1D．

Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=√(2)AA1，点D为A₁C₁的中点．
求证：

（1）BC₁∥平面AB₁D；
（2）A₁C⊥平面AB₁D．

Answer 1

（1）连结A₁B，设A₁B∩AB₁=O，连结OD
∵△A₁BC₁中，A₁D=DC₁，A₁O=OB
∴OD∥BC₁
∵OD⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D；
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∵B₁D⊂平面A₁B₁C₁，∴B₁D⊥AA₁，
∵B₁D是正三角形A₁B₁C₁的中线，可得B₁D⊥A₁C₁
∴结合AA₁∩A₁C₁=A₁，得B₁D⊥平面AA₁C₁C
∵A₁C⊂平面AA₁C₁C，∴B₁D⊥A₁C，
∵AB=√(2)AA1，∴(A1D)/(AA1)＝(AA1)/(AC)＝(√(2))/(2)
∵∠DA₁A=∠A₁AC=Rt∠
∴△DA₁A∽△A₁AC，可得∠ADA₁=∠CA₁A=90°-∠DA₁C
因此，∠ADA₁+∠DA₁C=90°，从而A₁C⊥AD
∵B₁D、AD是平面AB₁D内的相交直线，
∴A₁C⊥平面AB₁D．