三角形ABC中,BC=1,角ACB为直角,角ABC=60度.P为三角形内一点,使角APB=角APC=角BPC.求PA,PB,PC.

Question

三角形ABC中,BC=1,角ACB为直角,角ABC=60度.P为三角形内一点,使角APB=角APC=角BPC.求PA,PB,PC.

Answer 1

由题意,AB=2,AC=根号3,
先求三线长度和,设PA=a,PB=b,PC=c,利用余弦定理,可知
a^2+b^2+1/2*a*b*cos120度=a^2+b^2+ab=AB^2=4,式（1）
a^2+c^2+1/2*a*c*cos120度=a^2+c^2+ac=AC^2=3,式（2）
c^2+b^2+1/2*c*b*cos120度=c^2+b^2+cb=CB^2=1,式（3）
而且由面积公式可以得出SABC=1/2*sin120度*(ab+bc+ca)=1/2BC*AC,
有ab+bc+ca=2,式（4）
(1)+(2)+(3)+3*(4)=2(a+b+c)^2=14,所以a+b+c=根号7
然后(1)-(3)=(a-c)(a+b+c)=3,(2)-(3)=(b-c)(a+b+c)=1
可以得a-c=3倍根号7/7,b-c=根号7/7
a=4倍根号7/7,b=2倍根号7/7,c=根号7/7