如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

Question

如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y²=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

由

y＝2x−4

y2＝4x

得：4x²-20x+16=0，即x²-5x+4=0，
所以A（4，4）、B（1，-2）．
故|AB|＝3√(5)．…（4分）
设点P（t²，2t）（-1＜t＜2），则P到直线l的距离为：d＝(|2t2−2t−4|)/(√(5))＝(|2(t+1)(t−2)|)/(√(5))，
所以S△ABP＝(1)/(2)•|AB|•d＝3|(t+1)(t−2)|．
故当t＝(1)/(2)，即点P((1)/(4)，1)时，△ABP的面积最大为(27)/(4)．…（12分）