已知数列{an}满足a1＝12，2an+1−an＝1．（1）求{an}的通项公式；（2）求和Sn=a1+a2+…+an．

Question

已知数列{a_n}满足a1＝(1)/(2)，2an+1−an＝1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求和S_n=a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

（1）∵a1＝(1)/(2)，2an+1−an＝1＝2−1，2an+1−2＝an−1，2(an+1−1)＝an−1，（2分）
∴(an+1−1)/(an−1)＝(1)/(2)，a1−1＝(1)/(2)−1＝−(1)/(2)（5分）
∴数列{a_n-1}是以−(1)/(2)为首项，(1)/(2)为公比的等比数列，（6分）
∴an−1＝−(1)/(2)×((1)/(2))n−1，（7分）
∴an＝1−((1)/(2))n．                                          （8分）
（2）证明：∵Sn＝a1+a2+…+an＝n−[(1)/(2)+((1)/(2))2+…+((1)/(2))n]（11分）
=n−((1)/(2)−(1)/(2)×((1)/(2))n)/(1−(1)/(2))（13分）
=n−1+((1)/(2))n（14分）