几何题求解：PA、PB是切线,过弧AB上点C作切线MN,CO交园于D,PD交MN于E,证CM=EN.由于题目中有字数限制,不能画图,很抱歉!M、N是直线MN与PA、PB的交点.求高手赐教.

Question

几何题求解：PA、PB是切线,过弧AB上点C作切线MN,CO交园于D,PD交MN于E,证CM=EN.
由于题目中有字数限制,不能画图,很抱歉!M、N是直线MN与PA、PB的交点.求高手赐教.

Answer 1

证明：过点D作圆O的切线,分别交PA和PB的延长线于X,Y
由于CD是圆O直径,所以CD⊥MN,CD⊥XY=>XY//MN,所以△PMN∽△PXY
以P为中心,可将△PXY缩放成PMN,则D就会和E重合,
而△PXY的内切圆O则会缩放成△PMN的内切圆Q,设和PM的交点为H,和PN的交点为G
因为点D是圆O和XY的切点,所以点E是圆Q和MN的切点
这样便得到PA,PB和MN是圆Q和圆O的公切线,所以HA=PA-PH=PB-PG=GB
而HA=HM+MA,又HM=ME,MA=MC,所以HA=ME+MC,
再注意ME=MC+CE=>HA=2MC+CE
同理可得GB=GN+NB=NE+NC=2NE+CE
这样由HA=GB便得2MC+CE=2NE+CE=>2MC=2NE=>MC=NE