已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,从点O向AB、BC、CD、DA各边作垂线垂足分别是EFGH,求证四边形EFGH是矩形

Question

已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,从点O向AB、BC、CD、DA各边作垂线
垂足分别是EFGH,求证四边形EFGH是矩形

Answer 1

证明：
依题意得Rt△AOB≌Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△COB
根据勾股定理可得EO=FO=GO=HO
∴EG=FH
又根据中点四边形定理,四边形EFGH是平行四边形
∵EG=FH（对角线相等）
所以平行四边形EFGH是矩形.
或者 在菱形abcd中,
1.AB=BC=CD=DA
2.三角形AOB全等于三角形AOD全等于三角形BOC全等于三角形DOC
所以S三角形AOD=S三角形AOB=S三角形BOC=S三角形DOC
又因为AB=BC=CD=DA,EO,FO,GO,HO分别垂直于AB,BC,CD,DA
所以EO=FO=HO=GO
所以四边形ABCD是平行四边形
因为EO+GO=FO=HO
即EG=HF
所以平行四边形ABCD是矩形