速求数列数列｛an}的前n项和记为Sn,已经a1=1,a(n+1)=((n+2)/n)*(Sn)(n=1,2,3,……),证明:1,数列{(Sn)/n}是等比数列.2,S(n+1)=4(an)

Question

速求数列
数列｛an}的前n项和记为Sn,已经a1=1,a(n+1)=((n+2)/n)*(Sn)(n=1,2,3,……),证明:
1,数列{(Sn)/n}是等比数列.
2,S(n+1)=4(an)

Answer 1

a(n+1)=[(n+2)/n](Sn)
那么S(n+1)-Sn=[(n+2)/n](Sn)
S(n+1)=2[(n+1)/n](Sn)
S(n+1)/(n+1)=2(Sn)/n
(S1)/1=(a1)/1=1
所以{(Sn)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列
S(n+1)/(n+1)=1×2^n=2^n
S(n+1)=(n+1)2^n
那么Sn=n2^(n-1)
S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
an=Sn-S(n-1)=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)=2n2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)=(n+1)2^(n-2)
所以S(n+1)=4(an)