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初二正方形题正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点,且EF=AE+CF,DG⊥EF于G,求证:DG=DA
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初二正方形题
正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点,且EF=AE+CF,DG⊥EF于G,求证:DG=DA
正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点,且EF=AE+CF,DG⊥EF于G,求证:DG=DA
▼优质解答
答案和解析
作两条辅助线DE、DF,
因为DG⊥EF于G,根据勾股定理：
AD^2+AE^2=DE^2=DG^2+EG^2 ①
DC^2+CF^2=DF^2=DG^2+GF^2 ②
因为ABCD是正方形,所以①-②,得
AE2-CF2=EG2-GF2 ＝＝》
(AE+CF)(AE-CF)=(EG+GF)(EG-GF)=EF·(EG-GF)
因为EF=AE+CF,所以
AE-CF=EG-GF ＝＝》AE+GF=EG+CF ③
假设AE≠EG,若AE>EG,则根据AE+CF=EF=EG+GF,CFEG+GF,等式③不成立；
反之,若AEGF,
那么 AE+GF
因为DG⊥EF于G,根据勾股定理：
AD^2+AE^2=DE^2=DG^2+EG^2 ①
DC^2+CF^2=DF^2=DG^2+GF^2 ②
因为ABCD是正方形,所以①-②,得
AE2-CF2=EG2-GF2 ＝＝》
(AE+CF)(AE-CF)=(EG+GF)(EG-GF)=EF·(EG-GF)
因为EF=AE+CF,所以
AE-CF=EG-GF ＝＝》AE+GF=EG+CF ③
假设AE≠EG,若AE>EG,则根据AE+CF=EF=EG+GF,CFEG+GF,等式③不成立；
反之,若AEGF,
那么 AE+GF
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