方程2x=2-x的根所在区间是（）A.（-1，0）B.（2，3）C.（1，2）D.（0，1）

Question

方程2^x=2-x的根所在区间是（　　）
A. （-1，0）
B. （2，3）
C. （1，2）
D. （0，1）

Answer 1

令f（x）=2^x+x-2，则f（0）=1-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①
又∵2^x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2^xln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②
综上①②可知：函数f（x）=2^x+x-2在R有且只有一个零点x₀，且x₀∈（0，1）．
即方程2^x=2-x的根所在区间是（0，1）．
故选D．