一道高中不等式的证明题a>b>0,如何证明2a+b/a+2b>a/b不总成立?（正证、反证皆可）原式为：（2a+b）/（a+2b）>a/b

Question

一道高中不等式的证明题
a>b>0,
如何证明2a+b/a+2b>a/b不总成立?
（正证、反证皆可）
原式为：（2a+b）/（a+2b）>a/b

Answer 1

先看题设,说证明不总成立,那么应该想到用反证法.
不妨设 2a+b/a+2b>a/b 总是成立
然后通分,整理：（2ba^2+2ab^2+b^2-a^2)/(ab) 大于 0
提出公因式（a+b),整理：2ab+b-a 大于O
拿到等号一边,整理：（a-b)/(2ab) 小于1
化开来,得：1/b-1/a 小于2
而题设中条件为,a>b>0,所以1/b>1/a,所以1/b-1/a>0,与前面得出的【1/b-1/a 恒小于2】矛盾,
所以2a+b/a+2b>a/b不总成立
得证.