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如图所示,在△ABC中,求证:(1)若AD为∠BAC的平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC;(2)设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线.
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如图所示,在△ABC中,求证:
(1)若AD为∠BAC的平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC;
(2)设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线.
(1)若AD为∠BAC的平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC;
(2)设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过A作AH⊥BC于H,过C作CE∥AB交AD延长线于E,
则∠E=∠BAD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠E=∠CAD,
∴AC=CE,
∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,
∴
=
,
∴
=
,
∴S△ABD:S△ACD=(
×BD×AH):(
×CD×AH)=BD:CD=AB:AC;
(2)证明:过A作AH⊥BC于H,过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S△ABD:S△ACD=(
×BD×AH):(
×CD×AH)=BD:CD=AB:AC,
又∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,
∴
=
,
∴
=
,
∴CE=AC,
∴∠E=∠CAD,
∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC.
则∠E=∠BAD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠E=∠CAD,
∴AC=CE,
∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,
∴
BD |
CD |
AB |
CE |
∴
BD |
CD |
AB |
AC |
∴S△ABD:S△ACD=(
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)证明:过A作AH⊥BC于H,过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S△ABD:S△ACD=(
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,
∴
BD |
CD |
AB |
CE |
∴
AB |
CE |
AB |
AC |
∴CE=AC,
∴∠E=∠CAD,
∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC.
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