推理题,A从2到99之间抽了2个数字,把和告诉B,积告诉CB说我不知道这2个数,但是C也肯定不知道C说我开始确实不知道,但是现在知道了B说这样我也知道了求这2个数.为什么

Question

推理题,
A从2到99之间抽了2个数字,把和告诉B,积告诉C
B说我不知道这2个数,但是C也肯定不知道
C说我开始确实不知道,但是现在知道了
B说这样我也知道了
求这2个数.为什么

Answer 1

首先,正确答案是4和13.
设B得到的和记做B,C得到的积记做C,这两个数记做x和y.
1.预备结论,
a）100以内的质数有25个,如下：
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,
b）歌德巴赫猜想,任何大于6的偶数都能写成两个奇质数的和.
c）B明显大于等于6,而小于等于196
2.一些更要结论.
a）B不可能是偶数.因为B如果是偶数,而偶数都能写成两个奇质数的和,例如22＝5+17,那么如果C＝5*17＝85,则因为C＝85只有一种质因数分解方式,所以C知道这两个数是5和17.也就是说,B说“我不知道这2个数,但是C也肯定不知道”这句话是错误的,C有可能知道.
b）B是奇数,并且一定不能写成两个质数的和.例如若B＝19,那么就有可能是2和17,如果C＝34＝2*17,只有一种质因数分解方式,所以C知道这两个数.
那么不能写成两个质数的和的奇数见下：记做集合M
11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97,还有100至196之间的奇数（因为例如103,虽然＝101+2,但是101一经大于100）
这些数的思路是这样的,奇数＝两个质数和,那一定有一个数是2.不如分析30-40的,可以用排除法,奇数有31,33,35,37,39,但是29+2＝31,31+2＝33,37+2＝39所以要排除31,33,39剩余35,37.
所以B只可能是集合M中的数.
c）B可有多种可能的分解方式,但是只有一种是可以确定的.这句话如果不理解,后面有例子.
3.实际这个题可以分为两个重要部分,一是找到一组这样个数,并证明这组数符合条件,而是证明其它的数组不满足条件.本人只能证明的一部分,第二部分我目前没有更好的方法,只能是列举排除法.
4.下面实例分析
a）若B＝11
x＝2,y＝9,那么C＝18＝3*6,C会这样想,如果是3和6,那么B＝9,而9可以是2+7,那么我C就是14,我肯定可以知道是2和7,所以不能是3和6.也就是说若B＝11,B可以判断出是x＝2,y＝9
x＝3,y＝8,那么C＝24＝2*12＝4*6,无论2+12,还是4+6都是偶数,可以排除,B可以判断出是x＝2,y＝9
x＝4,y＝7,C＝2*14,2+16也可以排除,B可以判断出是x＝2,y＝9
x＝5,y＝6,C＝2*15,2+15＝17,17是集合M中的数,也就是说C知道这两个数是什么,但是B不能确定.
B有三组可以确定,那么,B就不知道究竟是那组了,只有一组能判断出来才可以.
一个结论：
（ⅰ）C可以有多中分解方式,但分解中的x+y的和如果是M中的数,那说明这种分解方式不能排除,反之则能排除.
（ⅱ）如果B的几种不同分解方式,有两个或以上的C可以确定,那么这样的B不满足条件（B说这样我也知道了）
（ⅲ）如果C的分解方式中x或y是4,8,16……2^2,另一个是质数,那么这种分解方式可以排除,因为,此时C的其他分解方式不过是,把质因数2分给质数,这样两个数都是偶数了,那么和B也成了偶数,这和前面的结论是矛盾的.
b）若B＝17
x＝2,y＝15,那么C＝30＝5*6,5+6＝11,属于M,不能排除.
x＝3,y＝14,那么C＝42＝2*21,2+21＝23,属于M,不能排除.
x＝4,y＝13,那么C＝52＝2*26,2+26＝28,不属于M,可以排除.
x＝5,y＝12,那么C＝60＝3*20,3+20＝23,属于M,不能排除.
x＝6,y＝11,那么C＝66＝2*33,2+33＝35,属于M,不能排除.
x＝7,y＝10,那么C＝70＝2*35,2+35＝37,属于M,不能排除.
x＝8,y＝9,那么C＝72＝3*24,2+24＝27,属于M,不能排除.
这样,只有一组可以排除,那就是说,如B＝17,C根据他知道的积,只有在C＝52时,C才能判断出来,其余不能判断.
c）其他的排除法,我只给出可以排除的两种方法.（运用了结论（ⅲ））
23＝4+17＝16+7..27＝4+23＝8+19..29＝2+27＝16+13..35＝4+31＝32+3..
37＝8+29＝32+5..41＝4+37＝32+9..47＝4+43＝16+31..51＝4+47＝8+43..
53＝4+47＝8+43..57＝4+53＝16+41..59＝4+55＝16+43..65＝4+61＝16+49..
67＝8+59＝64+3..71＝4+67＝64+7..77＝4+73＝64+13..79＝8+71＝64+15..
83＝4+79＝64+19..87＝4+83＝64+23..89＝16+73＝64+25..91＝8+83＝64+27.
93＝4+89＝64+29..97＝4+93＝64+33..
超过100的奇数属于集合M,所以还要研究这些数,当实在过于繁琐,可以用64,32,尤其是64,因为它再乘以任何质数都将超过100,所以很容易找到一种,至于另一种留给读者吧.
PS：这题,很难,很有趣.我好像记得大一时我曾经看过这样一篇论文,发表在什么刊物上我记不得了,而且我还复印这张,他的全部过程大概是一张半纸,当时我也没有看太懂.但是他第二部分是证明的.