lim(x->0)(cosx^2)^1/sinx^2当x趋近0时求极限?

Question

lim(x->0)(cosx^2)^1/sinx^2
当x趋近0时求极限?

Answer 1

原式=exp{lim(x->0)ln(cosx^2)/sinx^2}=exp{lim(x->0)ln[1+(cosx^2-1)]/sinx^2}=exp{lim(x->0)(cosx^2-1)/x^2}=exp{lim(x->0)-(x^4/2)/x^2}=exp(0)=1
这里用了等价无穷小ln(1+x)~x,1-cosx~x^2/2 (x->0)
如果题中为cos^2x与sin^2x,则有更简单的方法
原式=lim(x->0)(1-sin^2x)^{(-1/sin^2x)*(-1)}=e^{-1}=1/e