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已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2)且x∈[0,π/2],求函数f(x)=a·b-2|a+b|的最小值
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已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2)且x∈[0,π/2],求函数f(x)=a·b-2|a+b|的最小值
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答案和解析
已知向量a=[(cos3x)/2,(sin3x)/2],b=[(cosx)/2,-(sinx)/2]且x∈[0,π/2];
f(x)=a•b-2|a+b|
=[(cos3x)/2]*[(cosx)/2]+[(sin3x)/2]*[-(sinx)/2] -2√{[(cos3x)/2 +(cosx)/2]²+[(sin3x)/2 -(sinx)/2]²}
=[cos(3x+x)]/4 -√[2+2cos(3x+x)]
=(2cos²2x -1)/4 -2cos2x = (1/2)(2-cos2x)²-(9/4);
∵ x∈[0,π/2],cos2x≤1,∴ min f(x) =(1/2)(2-1)²-(9/4)=-7/4;
f(x)=a•b-2|a+b|
=[(cos3x)/2]*[(cosx)/2]+[(sin3x)/2]*[-(sinx)/2] -2√{[(cos3x)/2 +(cosx)/2]²+[(sin3x)/2 -(sinx)/2]²}
=[cos(3x+x)]/4 -√[2+2cos(3x+x)]
=(2cos²2x -1)/4 -2cos2x = (1/2)(2-cos2x)²-(9/4);
∵ x∈[0,π/2],cos2x≤1,∴ min f(x) =(1/2)(2-1)²-(9/4)=-7/4;
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