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高二立体几何2P为三角形ABC外一点,PA\PB\PC两两垂直,求证(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2注:S指面积
题目详情
高二立体几何2
P为三角形ABC外一点,PA\PB\PC两两垂直,求证(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
注:S指面积
P为三角形ABC外一点,PA\PB\PC两两垂直,求证(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
注:S指面积
▼优质解答
答案和解析
证明:
作PD垂直于BC与点D
则S(PBC)=(PD*BC)/2=(PC*PB)/2
S(ABC)=(AD*CB)/2
又因为PA,PB,PC两两垂直,
所以S(PAB)=(PA*PB)/2
同理S(PAC)=(PA*PC)/2
S(PBC)=(PC*PB)/2
代入时
S(ABC)^2=(BC^2*AD^2)/4
其中CD^2=PA^2+PD^2
(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
得PD^2*BC^2=PB^2*PC^2
所以(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2成立
ps:因为PA,PB,PC两两垂直,可将P看做原点
作PD垂直于BC与点D
则S(PBC)=(PD*BC)/2=(PC*PB)/2
S(ABC)=(AD*CB)/2
又因为PA,PB,PC两两垂直,
所以S(PAB)=(PA*PB)/2
同理S(PAC)=(PA*PC)/2
S(PBC)=(PC*PB)/2
代入时
S(ABC)^2=(BC^2*AD^2)/4
其中CD^2=PA^2+PD^2
(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
得PD^2*BC^2=PB^2*PC^2
所以(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2成立
ps:因为PA,PB,PC两两垂直,可将P看做原点
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