高二立体几何2P为三角形ABC外一点,PA\PB\PC两两垂直,求证(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2注:S指面积

Question

高二立体几何2
P为三角形ABC外一点,PA\PB\PC两两垂直,求证(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
注:S指面积

Answer 1

证明：
作PD垂直于BC与点D
则S(PBC)=(PD*BC)/2=(PC*PB)/2
S(ABC)=(AD*CB)/2
又因为PA,PB,PC两两垂直,
所以S(PAB)=(PA*PB)/2
同理S(PAC)=(PA*PC)/2
S(PBC)=(PC*PB)/2
代入时
S(ABC）^2=(BC^2*AD^2)/4
其中CD^2=PA^2+PD^2
(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2
得PD^2*BC^2=PB^2*PC^2
所以(S(PAB))^2+(S(PBC))^2+(S(PAC))^2=(S(ABC))^2成立
ps:因为PA,PB,PC两两垂直,可将P看做原点