（2013•贵阳二模）如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是线段DF的中点，M是线段AB上一点．（I）若M是线段AB的中点，求证：GA∥平面FMC（II）

Question

（2013•贵阳二模）如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是线段DF的中点，M是线段AB上一点．
（I）若M是线段AB的中点，求证：GA∥平面FMC
（II）若多面体BCDMFE的体积是多面体F-ADM的体积的3倍，AM=λMB，求λ的值．

Answer 1

证明：（I）
方法一（面面平行性质法）：
取DC中点S，连接AS，GS，GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∵GS∩AS=S，GS，AS⊂面GSA，FC，CM⊂面FMC
∴面GSA∥面FMC，
而GA⊂平面GSA，
∴GA∥平面FMC…（6分）
方法二：（线面平行的判定定理法）
取FC中点N，连接GN，MN
∵G是DF中点
∴GF∥CD且GN＝(1)/(2)CD
又∵AM∥CD且AM＝(1)/(2)CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V₁，V₂，AM=x．
由题意得，V＝((1)/(2)DA•DF)•AB＝((1)/(2)a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） GN＝(1)/(2)111222CD
又∵AM∥CD且AM＝(1)/(2)CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V₁，V₂，AM=x．
由题意得，V＝((1)/(2)DA•DF)•AB＝((1)/(2)a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） AM＝(1)/(2)111222CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V₁1，V₂2，AM=x．
由题意得，V＝((1)/(2)DA•DF)•AB＝((1)/(2)a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） V＝((1)/(2)111222DA•DF)•AB＝((1)/(2)111222a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 3，
V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） V1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 1＝VM−ADF＝(1)/(3)((1)/(2)DA•DF)•x＝(1)/(6)a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） M−ADF＝(1)/(3)111333((1)/(2)111222DA•DF)•x＝(1)/(6)111666a2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 2x，
V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） V2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 2＝V−V1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 1＝a3−(1)/(6)a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 3−(1)/(6)111666a2x．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 2x．…（9分）
因为V₂2=3V₁
1
所以a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） a3−(1)/(6)a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 3−(1)/(6)111666a2x＝3•(1)/(6)a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 2x＝3•(1)/(6)111666a2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） 2x，解得x＝(3)/(2)a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） x＝(3)/(2)333222a．
所以λ＝(AM)/(BM)＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)＝3．…（12分） λ＝(AM)/(BM)AMAMAMBMBMBM＝((3)/(2)a)/(2a−(3)/(2)a)(3)/(2)a(3)/(2)a(3)/(2)333222a2a−(3)/(2)a2a−(3)/(2)a2a−(3)/(2)333222a＝3．…（12分）