如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，此△ABC叫做“黄金三角形”，求证：BC2=CD•CA．

Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，此△ABC叫做“黄金三角形”，求证：BC²=CD•CA．
如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，此△ABC叫做“黄金三角形”，求证：BC²=CD•CA．
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Answer 1

证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
而∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=(1)/(2)（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C为公共角，
∴△ABC∽△BCD，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²=CD•CA． (1)/(2)12111222（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C为公共角，
∴△ABC∽△BCD，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²2=CD•CA．