设m=1²+2²+3²+…+2013².今天是星期五,若今天算第一天,则第m天是星期几?

Question

设m=1²+2²+3²+…+2013².今天是星期五,若今天算第一天,则第m天是星期几?

Answer 1

1^2和6^2除以7都余1
2^2和5^2除以7都余4
3^2和4^2除以6都余2
由于1+4+2=7
所以(1^2+2^2+3^2)和(4^2+5^2+6^2)除以7的余数都等于0,另外7^2除以7也余0.
所以前7项的和除以7余0.
再由（7q+r)^2除以7的余数和r^2除以7的余数相等,所以
14的平方和除以7的余数和1~7的平方和除以7的余数一样都是0,
15~21的平方和除以7的余数和1~7的平方和除以7的余数也一样都是0,
22~28,29~35.也是如此,
2013除以7余4,所以m除以7的余数等于最后4个数之和除以7的余数,
它们又等于1^2+2^2+3^2+4^2除以7的余数,即2.
所以今天星期五,经过m天之后就是星期六.