可恶的数学题有3个自然数,其中2个的最大公约数是10004,其中2个的最大公约数是10006,其中2个的最大公约数是10008.请问是否有这样的3个数存在?

Question

可恶的数学题
有3个自然数,其中2个的最大公约数是10004,其中2个的最大公约数是10006,其中2个的最大公约数是10008.请问是否有这样的3个数存在?

Answer 1

满足条件的这样的3个数不存在.
反证法,假设A,B,C是满足题中条件的3个数,下面用(A,B)表示A,B的最大公约数,
由10004=4*7*293,10006=2*5003,10008=8*3*3*139=8*1251.可知
(A,B)=10004,则A,B均含有因子4,7,293
(B,C)=10006,则B,C均含有因子2,5003
(A,C)=10008,则A,C均含有因子8,1251
此时A至少含有因子8,7,293,1251
B至少含有因子4,7,293,5003
C至少含有因子8,5003,1251,但这是不可能的,因为B,C均含有因子4,5003,
(B,C)=4*5003=20012,矛盾.故满足条件的这样的3个数不存在.