如图，己知⊙Ol与⊙O2外切于点P，A在⊙Ol上，AC切⊙O2于点C，交⊙O1于点B，AP的延长线交⊙O2于点D．（1）求证：PC平分∠BPD；（2）求证：PC2=PB•PD；（3）当⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm、3cm时，si

Question

如图，己知⊙O_l与⊙O₂外切于点P，A在⊙O_l上，AC切⊙O₂于点C，交⊙O₁于点B，AP的延长线交⊙O₂于点D．
（1）求证：PC平分∠BPD；
（2）求证：PC²=PB•PD；
（3）当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP的值是多少？当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP的值是多少？分析sin∠BAP值的变化，你能发现什么规律？请尝试证明或否定你的猜想．

Answer 1

（1）证明：连接CO₂、CD，
∵AC是⊙O₂的切线，AP是圆O₁的直径，
∴∠ABP=∠AC⊙O₂=90°，∴PB∥O₂C．
∴∠BPC=∠PCO₂，
∵O₂C=O₂P，∴∠O₂PC=∠O₂CP，
∴∠O₂PC=BPC，即PC平分∠BPD．
（2）证明：∵PC平分∠BPD，∠PBC=∠PCD，
∴△PBC∽△PCD．
∴(PB)/(PC)＝(PC)/(PD)．
∴PC²=PB•PD．
（3）当⊙O₁与⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP=(3)/(7)
当⊙O_l与⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP=(3)/(7)．
当⊙O_l与⊙O₂的半径之比为定值时，sin∠BAP的值唯一确定，
显然(R)/(r)的值唯一确定sin∠BAP的值．
sin∠BAP=(CO2)/(AO2)＝(R)/(2r+R)．