一道高中数学立几题,高手进已知正三角形ABC与正方形ABDE共边AB,二面角C-AB-D的平面角的余弦值等于√3/3M,N分别是AC,BC的中点,求异面直线EM,AN所成角的余弦值

Question

一道高中数学立几题 ,高手进 已知正三角形ABC与正方形ABDE共边AB,二面角C-AB-D的平面角的余弦值等于√3/3M,N分别是AC,BC的中点,求异面直线EM,AN所成角的余弦值

Answer 1

过C作CF⊥平面ABCD交于点F,令AB的中点为G.
∵AC＝BC、F∈平面ABCD且CF⊥平面ABCD,∴AF＝BF,
∴F在AB的中垂线上,又G是AB的中点,∴FG⊥AB.
∵AC＝BC、G是AB的中点,∴CG⊥AB,又FG⊥AB,∴∠CGF＝二面角C－AB－D的平面角,
∴cos∠CGF＝√3/3.
利用赋值法,令FG＝√3,则CG＝3,∴CF＝√（CG^2－FG^2）＝√（9－3）＝√6.
∵△ABC是等边三角形,又G∈AB且CG⊥AB、CG＝3,∴AG＝BG＝√3,∴AB＝2√3.
∵ABCD是正方形,∴AE＝BD＝DE＝AB＝2√3.
以点G的原点,AB、GF为x轴、y轴建立空间直角坐标系,使A、F分别在x轴、y轴的正半轴上,并使点C在平面xGy的上方.
容易写出以下各点的坐标：
A（√3,0,0）、B（－√3,0,0）、E（√3,2√3,0）、C（0,√3,√6）.
由中点坐标公式,容易得出：M（√3/2,√3/2,√6/2）、N（－√3/2,√3/2,√6/2）.
∴向量EM＝（－√3/2,－3√3/2,√6/2）、向量AN＝（－3√3/2,√3/2,√6/2）.
∴｜向量EM｜＝√（3/4＋27/4＋6/4）＝3、｜向量AN｜＝√（27/4＋3/4＋6/4）＝3,
　向量EM·向量AN＝9/4－9/4＋6/4＝3/2.
∴cos＜EM,AN＞＝向量EM·向量AN/（｜向量EM｜｜向量AN｜）＝（3/2）/（3×3）＝1/6.
∴EM、AN所成角的余弦值为1/6.