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已知矩形ABCD中,AB=10cm,AD=4cm,作如下折叠操作.如图1和图2所示.在边AB上取点M,在边AD或DC上取点P,连接MP,将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′,点A落点为点A′
题目详情
已知矩形ABCD中,AB=10cm,AD=4cm,作如下折叠操作.如图1和图2所示.在边AB上取点M,在边AD或DC上取点P,连接MP,将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′,点A落点为点A′,点D落点为点D′.
探究:
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(1)如图1,若AM=8cm,点P在AD上,点A′落在DC上,则∠MA′C的度数为___.
(2)如图2,若AM=5cm,点P在DC上,点A′落在DC上.
①求证:△MA′P是等腰三角形;
②请直接写出线段DP的长是___.
(3)若点M固定为AB的中点,点P由A开始,沿A-D-C方向,在AD、DC边上运动,设点P的运动速度为1cm/s,运动时间为t s,按操作要求折叠:
①求:当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围;
②直接写出当点A′到边AB 的距离最大时,t的值是___.
发现:若点M在线段AB上移动,点P仍为线段AD或DC上的任意点,随着点M的位置不同,按操作要求折叠后,点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况:不会落在线段DC上,只有一次落在线段DC上,会有两次落在线段DC上.请直接写出点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是___.
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(1)如图1,若AM=8cm,点P在AD上,点A′落在DC上,则∠MA′C的度数为___.
(2)如图2,若AM=5cm,点P在DC上,点A′落在DC上.
①求证:△MA′P是等腰三角形;
②请直接写出线段DP的长是___.
(3)若点M固定为AB的中点,点P由A开始,沿A-D-C方向,在AD、DC边上运动,设点P的运动速度为1cm/s,运动时间为t s,按操作要求折叠:
①求:当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围;
②直接写出当点A′到边AB 的距离最大时,t的值是___.
发现:若点M在线段AB上移动,点P仍为线段AD或DC上的任意点,随着点M的位置不同,按操作要求折叠后,点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况:不会落在线段DC上,只有一次落在线段DC上,会有两次落在线段DC上.请直接写出点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是___.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,过M作ME⊥CD于E,
则ME=AD=4,
由折叠得:AM=A′M=8,
∴ME=
A′M,
∴∠MA′C=30°;
故答案为:30°;
(2)①如图2,∵四边形ABCD为矩形,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/27/1532704635-1411.jpg)
∴AB∥CD,
∴∠CPM=∠AMP,
由折叠得:∠AMP=∠A′MP,
∴∠CPM=∠A′MP,
∴A′M=A′P,
∴△MA′P是等腰三角形;
②如图2,由折叠得:A′M=AM=5,A′D′=AD=4,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/27/1532704635-3659.jpg)
由①得:A′M=A′P=5,
在Rt△A′PD′中,PD′=
=3,
∴PD=PD′=3cm;
故答案为:3cm;
(3)①当P在AD上,点A′落在DC上时,如图3,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/27/1532704635-7698.jpg)
过M作ME⊥CD于E,
∵M是AB的中点,AB=10,
∴AM=5,
由折叠得:A′M=AM=5,
∵MN=4,
设AP=A′P=xcm,
同理得:A′E=3,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/27/1532704635-5938.jpg)
∴A′D=DE-A′E=5-3=2,
PD=4-x,
在Rt△A′DP中,x2=22+(4-x)2,
解得x=2.5,
此时,t=2.5s;
当点P在DC上,A′也在DC上时,如图2,
此时PD=3cm,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/27/1532704635-6170.jpg)
t=7s,
∴当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围为2.5≤t≤7;
②当点A′到边AB 的距离最大时,即A′M⊥AB时,如图4,
由折叠得:A′M=AM=5,
此时t的值是5s;
故答案为:5s;
发现:点A的落点A′,在以M为圆心,AM为半径的圆上,
当圆M与线段CD有唯一交点时,如图5,此时AM=4cm;
当圆M交线段CD于点C时,如图6,
设AM=xcm,则CM=xcm,BM=(10-x)cm,
在Rt△MBC中,由勾股定理得:MC2=BM2+BC2,
∴x2=(10-x)2+42,
x=5.8,
∴点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是:4cm<AM≤5.8cm.
故答案为:4cm<AM≤5.8cm.
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则ME=AD=4,
由折叠得:AM=A′M=8,
∴ME=
1 |
2 |
∴∠MA′C=30°;
故答案为:30°;
(2)①如图2,∵四边形ABCD为矩形,
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∴AB∥CD,
∴∠CPM=∠AMP,
由折叠得:∠AMP=∠A′MP,
∴∠CPM=∠A′MP,
∴A′M=A′P,
∴△MA′P是等腰三角形;
②如图2,由折叠得:A′M=AM=5,A′D′=AD=4,
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由①得:A′M=A′P=5,
在Rt△A′PD′中,PD′=
52-42 |
∴PD=PD′=3cm;
故答案为:3cm;
(3)①当P在AD上,点A′落在DC上时,如图3,
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过M作ME⊥CD于E,
∵M是AB的中点,AB=10,
∴AM=5,
由折叠得:A′M=AM=5,
∵MN=4,
设AP=A′P=xcm,
同理得:A′E=3,
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∴A′D=DE-A′E=5-3=2,
PD=4-x,
在Rt△A′DP中,x2=22+(4-x)2,
解得x=2.5,
此时,t=2.5s;
当点P在DC上,A′也在DC上时,如图2,
此时PD=3cm,
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t=7s,
∴当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围为2.5≤t≤7;
②当点A′到边AB 的距离最大时,即A′M⊥AB时,如图4,
由折叠得:A′M=AM=5,
此时t的值是5s;
故答案为:5s;
发现:点A的落点A′,在以M为圆心,AM为半径的圆上,
当圆M与线段CD有唯一交点时,如图5,此时AM=4cm;
当圆M交线段CD于点C时,如图6,
设AM=xcm,则CM=xcm,BM=(10-x)cm,
在Rt△MBC中,由勾股定理得:MC2=BM2+BC2,
∴x2=(10-x)2+42,
x=5.8,
∴点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是:4cm<AM≤5.8cm.
故答案为:4cm<AM≤5.8cm.
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