数学中的派“π”到底是怎样得来的?它的具体作用是什么?

Question

数学中的派“π”到底是怎样得来的?它的具体作用是什么?

Answer 1

圆周率（π,读作pài）是一个常数（约等于3.141592654）,是代表圆周长和直径的比值.它是一个无理数,即无限不循环小数.在日常生活中,通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算.而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算.即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,充其量也只需取值至小数点后几百个位.
古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出.古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河.阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4.接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界.他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止.最后,他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7,并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值.阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念,称得上是“计算数学”的鼻祖.
中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载,意即取π=3.[6]汉朝时,张衡得出,即（约为3.162）.这个值不太准确,但它简单易理解.[7]公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形.他说“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”,包含了求极限的思想.刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值,刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小.于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率.
公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率和约率.密率是个很好的分数近似值,要取到才能得出比略准确的近似.[8]（参见丢番图逼近）
在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的.其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的著作中,欧洲称之为Metius' number.
约在公元530年,印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为√9.8684.婆罗摩笈多采用另一套方法,推论出圆周率等于10的算术平方根.
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录.德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数.