若a是不超过2012的正整数,且(a+4)/(a^2+7)是最简分数,求a取值个数完全没有头绪.

Question

若a是不超过2012的正整数,且(a+4)/(a^2+7)是最简分数,求a取值个数
完全没有头绪.

Answer 1

因为(a+4)/(a^2+7)是最简分数
所以(a+4)和(a^2+7)最大公约数为1
即是(a+4)和(a^2+7)互质
设b=a+4【由题2012>a>0所以2016>b>5】
则a=b-4
分子=b
分母=b^2-8b+23=b*(b-8)+23
因为分子分母互质
所以分子不为23的倍数即可
5到2016之间为23的倍数的数 的个数 为[2016/23]=87
所以b的个数为 总个数-不可取得个数=(2016-5+1)-87=1925个
所以a有1925个