（2012•朝阳区二模）如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点．（1）求证：△DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P．求证：DP=DQ．

Question

（2012•朝阳区二模）如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点．
（1）求证：△DMN是等边三角形；
（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P．求证：DP=DQ．
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置．

Answer 1

证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG，
∵D为AB的中点，即DG为△ABC的中位线，
∴DG=(1)/(2)BC，DG∥BC，
∵N为FC的中点，即NG为△AFC的中位线，
∴NG∥AF，又△ACF为等边三角形，
∴∠CNG=∠F=∠CGN=∠CAF=60°，
∴△NGC是等边三角形，
∴NG=NC，
∵M为等边三角形BEC边EC的中点，
∴DG=CM=(1)/(2)EC=(1)/(2)BC，
∵∠DGC+∠GCB=180°，
∴∠NGD+∠GCB=240°，
∵∠GCB+∠NCM=240°，
∴∠NGD=∠NCM，
在△NGD和△NCM中，

NG＝NC

∠NGD＝∠NCM

GD＝CM

，
∴△NGD≌△NCM（SAS），
∴ND=NM，∠GND=∠CNM，
∴∠GNC=∠GND+∠CND=∠MNC+∠CND=60°，
∴∠DNM=60°，
∴△DMN是等边三角形；

（2）连接QN、PM，
∵QN为△FCE的中位线，PM为直角三角形PCE斜边上的中线，
∴QN=(1)/(2)CE=PM，
∵Rt△CPE中，PM=EM，
∴∠MEP=∠MPE，
∵MN∥EF，
∴∠MPE=∠PMN，∠FQN=∠QNM，
∵NQ∥CE，
∴∠FQN=∠MEP，
∴∠PMN=∠QNM，又∠NMD=∠MND=60°，
∴∠PMN+∠NMD=∠QNM+∠MND，即∠QND=∠PMD，
在△QND和△PMD中，

ND＝MD

∠QND＝∠PMD

NQ＝MP

，
∴△QND≌△PMD（SAS），
∴DQ=DP．