如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移

Question

如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM，
在△ABM和△ACM中，

AB＝AC

∠BAM＝∠CAM

AM＝AM

，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC；

（2）MB=MC．
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，
∴BD=BE′，CE=CF，
∵M是ED的中点，B是DE′的中点，
∴MB∥AE′，
∴∠MBC=∠CAE，
同理：MC∥AD，
∴∠BCM=∠BAD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠MBC=∠BCM，
∴MB=MC；

（3）MB=MC还成立．
如图4，延长BM交CE于F，
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME，
在△MDB和△MEF中，

∠MDB＝∠MEF

∠MBD＝∠MFE

MD＝ME

，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF，
∵∠ACE=90°，
∴∠BCF=90°，
∴MB=MC．