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如图,在平面直角坐标系中,△AOP为等边三角形,A(0,1),点B为y轴上一动点,以BP为边作等边△PBC.(1)求证:OB=AC;(2)求∠CAP的度数;(3)当B点运动时,AE的长度是否发生变化?
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753016-4191.jpg)
(1)求证:OB=AC;
(2)求∠CAP的度数;
(3)当B点运动时,AE的长度是否发生变化?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△BPC和△AOP是等边三角形,
∴OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB,
即∠OPB=∠APC,
在△PBO和△PCA中,
,
∴△PBO≌△PCA (SAS)
,
∴OB=AC.
(2)由(1)知∠PBO=∠PCA,
∴∠BAC=∠BPC=60゜,
又∵∠OAP=60゜,
∴∠CAP=60゜.
(3)当B点运动时,AE的长度不发生变化,
理由是:∵∠EAO=∠BAC=60゜,∠AOE=90°,
∴∠AEO=30゜,
∴AE=2AO=2,
即当B点运动时,AE的长度不发生变化.
∴OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB,
即∠OPB=∠APC,
在△PBO和△PCA中,
|
∴△PBO≌△PCA (SAS)
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753016-4299.jpg)
∴OB=AC.
(2)由(1)知∠PBO=∠PCA,
∴∠BAC=∠BPC=60゜,
又∵∠OAP=60゜,
∴∠CAP=60゜.
(3)当B点运动时,AE的长度不发生变化,
理由是:∵∠EAO=∠BAC=60゜,∠AOE=90°,
∴∠AEO=30゜,
∴AE=2AO=2,
即当B点运动时,AE的长度不发生变化.
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