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(2012•山东)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(Ⅰ)求证:BE=DE;(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753020-9257.jpg)
(Ⅰ)求证:BE=DE;
(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(I)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,
又已知CE⊥BD,EC∩CO=C,
所以BD⊥平面OCE.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753019-1984.jpg)
所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,
所以BE=DE.
(II)证法一:
取AB中点N,连接MN,DN,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753019-4337.jpg)
∵M是AE的中点,
∴MN∥BE,又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面BEC
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753019-3660.jpg)
∵CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,
∴AB=
AF,
又AB=AD,
∴D为线段AF的中点,连接DM,DM∥EF,又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
∴DM∥平面BEC
又已知CE⊥BD,EC∩CO=C,
所以BD⊥平面OCE.
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所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,
所以BE=DE.
(II)证法一:
取AB中点N,连接MN,DN,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753019-4337.jpg)
∵M是AE的中点,
∴MN∥BE,又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面BEC
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753019-3660.jpg)
∵CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,
∴AB=
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又AB=AD,
∴D为线段AF的中点,连接DM,DM∥EF,又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
∴DM∥平面BEC
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