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(本题满分12分)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(,且),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克
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(本题满分12分)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕( ![]() ![]() 背景介绍:这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角 形的“等分积周线”. 尝试解决: ![]() (2) 小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点 C 画了一条直线 CD 交 AB 于点 D .你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由. (3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:若 AB = BC =5 cm, AC =6 cm,请你找出△ ABC 的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法. |
▼优质解答
答案和解析
(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分 ![]() 若直线CD平分△ABC的面积 那么 ![]() ∴ ![]() ∴ ![]() ∵ ![]() ∴ ![]() ∴ 小华不会成功.………………………………………………………………5分 ![]() ② 若直线不过顶点,可分以下三种情况: (a)直线与BC、AC分别交于E、F,如图所示 过点E作EH⊥AC于点H,过点B作BG⊥AC于点G 易求,BG=4,AG=CG=3 设CF=x,则CE=8-x 由△CEH∽△CBG,可得EH= ![]() 根据面积相等,可得 ![]() ∴ ![]() ![]() ∴ CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线.……………………………8分 (b)直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示 由 (a)可得,AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线. ![]() (c) 直线与AB、BC分别交于P、Q,如图所示 过点A作AY⊥BC于点Y,过点P作PX⊥BC于点X 由面积法可得, AY= ![]() 设BP=x,则BQ=8-x ![]() ![]() 根据面积相等,可得 ![]() ∴ ![]() ![]() 而当BP ![]() ![]() ∴ 此种情况不存在.……………………………………………12分 综上所述,符合条件的直线共有三条. (注:若直接按与两边相交的情况分类,也相应给分) |
略 |
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