如图，在平面直角坐标系中，矩形ABDE的边AB=4，BD=8，点B（4，4，），点A，点E都在x轴上，BD与y轴交于点C，点M是矩形ABDE的对称中心．（1）写出点M的坐标；（2）现将线段OM绕点O顺时针旋转得

Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABDE的边AB=4，BD=8，点B（4，4，），点A，点E都在x轴上，BD与y轴交于点C，点M是矩形ABDE的对称中心．
（1）写出点M的坐标；
（2）现将线段OM绕点O顺时针旋转得到OM′，旋转角为α，连结AM′，以AM′为边作正方形AM′PQ（点A、M′、P、Q成顺时针排列）．
①若0°<α≥90°，PQ∥BD时，求旋转角α的度数；
②若0°<α≤180°，直线PQ与直线BD所成的夹角为30°时，求旋转角α的度数；
③若0°<α≤360°，请直接写出线段PQ与线段BD存在交点时旋转角α的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知，四边形ABCO，四边形OCDE是正方形，边长都是4，
∵M是矩形ABDE的对称中心，
∴OM=MC=2，
∴M（0，2）．

（2）①如图1中，当点M′在OA上时，PQ∥BA，此时旋转角为90°，
∴α=90°．


②如图2中，作M′H⊥OA于H．

∵直线PQ与直线BD所成的夹角为30°，
∴直线AM′与x轴的夹角为30°，设M′（a，b），
则有(b)/(4-a)=(√(3))/(3)，
∴a=4-√(3)b，
在Rt△OHM′中，∵M′²=HM′²+OH²，
∴（4-√(3)b）²+b²=2²，
∴b=√(3)，a=1，
∴tan∠OM′H=(√(3))/(3)，
∴∠MOM′=∠OM′A=30°，
∴α=30°，
如图3中，当直线PQ与直线BD所成的夹角为30°，同法可得α=150°，

综上所述，当直线PQ与直线BD所成的夹角为30°时，旋转角为30°或150°．

③设M′（a，b），则P（a+b，b+4-a），Q（4+b，4-a）．
如图4中，当线段PQ经过点B时，

易证△AM′O≌△AQB，可得∠OM′A=90°，
∵OM′=2，OA=4，
∴OA=2OM′，
∴∠OAM′=30°，∠AOM′=60°，
∴α=30°．

如图5中，当P在线段BD上时，b+4-a=4，可得a=b，α=45°．

如图6中，当Q在线段BD上时，4-a=4，可得a=0，α=180°

如图7中，当P在线段BD上时，b+4-a=4，可得a=b，α=225°，

综上所述，当30°≤α≤45°或180°≤α≤225°时，线段PQ与线段BD存在交点．