（2013•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

Question

（2013•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=√(3)，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．
（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；
（2）若AD=(1)/(4)，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

Answer 1

（1）由题意得：tanA=(BC)/(AC)=(3)/(√(3))=√(3)，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，

则EH=DE•sin∠CDE=a•(√(3))/(2)=(√(3))/(2)a．
∴点E到AC的距离为一个常数．

（2）若AD=(1)/(4)，当a=2时，如答图2所示．

设AB与DF、EF分别交于点M、N．
∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=AD=(1)/(4)．
过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG为等边三角形，
∴DG=MG=DM=(1)/(4)．
∴GE=DE-DG=2-(1)/(4)=(7)/(4)．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四边形MGEN为平行四边形．
∴NE=MG=(1)/(4)，MN=GE=(7)/(4)．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+(1)/(4)+(7)/(4)+(1)/(4)=(17)/(4)．

（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：
①若0＜a≤(√(3))/(2)，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：

∴T=3a；
②若(√(3))/(2)＜a≤√(3)，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．
与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．
∴DM=DG=NE=AD=(√(3))/(2)，MN=GE=DE-DG=a-(√(3))/(2)，
∴T=DE+DM+MN+NE=a+(√(3))/(2)+（a-(√(3))/(2)）+(√(3))/(2)=2a+(√(3))/(2)；
③若√(3)＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．
在Rt△PCD中，CD=(√(3))/(2)，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=(√(3))/(2)×√(3)=(3)/(2)．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，点E到AC的距离为(√(3))/(2)a，∴PQ=(√(3))/(2)a-(3)/(2)．
∴QE=PQ•tan30°=（(√(3))/(2)a-(3)/(2)）×(√(3))/(3)=(1)/(2)a-(√(3))/(2)，PE=2QE=a-√(3)．
由②可知，四边形MDEN的周长为2a+(√(3))/(2)．
∴T=四边形MDEN的周长-PE-QE+PQ=（2a+(√(3))/(2)）-（a-√(3)）-（(1)/(2)a-(√(3))/(2)）+（(√(3))/(2)a-(3)/(2)）=(√(3)+1)/(2)a+2√(3)-(3)/(2)．
综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：
T=

3a(0＜a≤(√(3))/(2))

2a+(√(3))/(2)((√(3))/(2)＜a≤√(3))

(√(3)+1)/(2)a+2√(3)−(3)/(2)(√(3)＜a＜3)

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