(2013•松江区模拟)已知:点A、B都在半径为9的圆O上,P是射线OA上一点,以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C,直线OB与圆P相交的另一个交点为D,cos∠AOB=23(1)求:公共弦BC的长度
(2013•松江区模拟)已知:点A、B都在半径为9的圆O上,P是射线OA上一点,以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C,直线OB与圆P相交的另一个交点为D,cos∠AOB=
(1)求:公共弦BC的长度;
(2)如图,当点D在线段OB的延长线上时,设AP=x,BD=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果直线PD与射线CB相交于点E,且△BDE与△BPE相似,求线段AP的长.
答案和解析
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753048-6847.jpg)
(1)∵圆O与圆P相交于点B、C,
∴OP⊥BC,垂足为点H,且BH=CH,
在Rt△BOH 中,
∵OB=9,cos∠AOB=
=,
∴OH=6,
∴BH=3,
∴BC=6;
(2)如图1,作PM⊥BD,垂足为点M.
由垂径定理,得BM=DM=y,
∴cos∠AOB==,即=,
∴y关于x的函数解析式为y=x-6,
定义域为x>.
(3)(i)如图2,当点P在OA的延长线上时,
则△DBE∽△BPE,
∴∠DBE=∠BPE,
∵∠DBE=∠OBH,∠OPM=∠OBH,
∴∠BPE=∠OPM,
而∠BPM=∠DPM,
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753048-9989.jpg)
∴BM=BH,即BD=BC,
∴x-6=6,
解得x=+,即AP=+;
(ii)如图3,当点P在线段OA上时,
作PN⊥BD,垂足为点N.
则△BDE∽△PBE,
∴∠BDE=∠PBE,
∵PD=PB,
∴∠BDP=∠DBP.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753048-3927.jpg)
∴∠PBE=∠DBP.
∴PH=PN.
∴BD=BC.
∵BN=DN,∴ON=9-BD,
∴cos∠AOB==,
整理,得BD=AP+6,
∴AP+6=6,
解得AP=-,
综上所述,线段AP的长为+或-.
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