（2011•平湖市模拟）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为256或136或1

Question

（2011•平湖市模拟）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为

(25)/(6)或(13)/(6)或(11)/(12)

(25)/(6)或(13)/(6)或(11)/(12)

．

Answer 1

（1）当BD=BQ，
∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，
则AB=5，
过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，
∵D为AB的中点，
∴DM=AN=(1)/(2)AC=(3)/(2)，BD=(1)/(2)AB=(5)/(2)，DN=BM=(1)/(2)BC=2，
∴BQ=BD=(5)/(2)，QM=(5)/(2)-2=(1)/(2)，
∴∠3=90°-(1)/(2)∠B，
而∠2+∠3=90°，
∴∠2=(1)/(2)∠B，
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A=90°-∠B，
而∠1+∠EDF+∠2=90°，
∴∠1=(1)/(2)∠B，即∠1=∠2，
∴△DQM∽△DPN，
∴PN：QM=DN：DM，即PN：(1)/(2)=2：(3)/(2)，
∴PN=(2)/(3)，
∴AP=(3)/(2)+(2)/(3)=(13)/(6)；

（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，
DA=DC=(5)/(2)，
而Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴△CPD∽△CDA，
∴CP：CD=CD：CA，即CP：(5)/(2)=(5)/(2)：3，
∴CP=(25)/(12)，
∴AP=3-(25)/(12)=(11)/(12)；

（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，
而∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=(5)/(2)：3，
∴AP=(25)/(6)．
故答案为(13)/(6)或

作业搜用户 2017-10-04