（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．（1）研究性质①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对

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（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．
定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．
（1）研究性质
①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论．
②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？证明你的结论．
③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．
（2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？

▼优质解答

答案和解析

（1）①结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．
证明：连接AD，如图1，
∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B=

(6−2)•180°

=120°．
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°-120°-120°=120°．
∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE．
同理BC∥EF，CD∥AF．
②结论：EF=BC，AF=DC．

证明：连接AE、DB，如图2，
∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE=DB，∠EAB=∠BDE．
∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB．
在△AFE和△DCB中，

∠FAE＝∠CDB

∠F＝∠C

AE＝DB

．
∴△AFE≌△DCB．
∴EF=BC，AF=DC．
③结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC．

延长FE、CD相交于点P，延长EF、BA相交于点Q，延长DC、AB相交于点S，如图3．
∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°．
∴△QAF是等边三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF．
同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED．
∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ是等边三角形．∴PQ=QS=SP．
∴QB=QS-BS=PS-CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC．
∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴

＝

．
同理：

＝

，

＝

．
∴

＝

．
∴

＝

AB+AF

ED+DC

=1．
∴AB=ED，AF=DC，EF=BC．

（2）连接BF，如图4，
∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°．

∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°．
同理：∠A+∠ABC+∠C=360°．
∴∠AFE=∠C．
同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E．
Ⅰ．若只有1个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形．
反例：当∠A=120°，∠ABC=150°时，∠D=∠A∠=120°，∠E=∠ABC=150°．
∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=

（720°-120°-120°-150°-150°）=90°．
此时该六边形不是等角六边形．
Ⅱ．若有2个内角等于120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形．
反例：当∠A=∠D=120°，∠ABC=150°时，∠E=∠ABC=150°．
∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=