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从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法.例如,我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形,可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想,从而借助已
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从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法.例如,我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形,可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想,从而借助已有经验,迅速解决问题.
(1)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标___(用含a的代数式表示);
(2)基本经验有利有弊,当基本经验有利于新问题解决的时候,这是基本经验的正迁移;当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考,让新问题解决不出来的时候,这是基本经验的负迁移.例如,如果(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图2,求证:MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.
(3)如图3,请你继续探索:连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.
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(1)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标___(用含a的代数式表示);
(2)基本经验有利有弊,当基本经验有利于新问题解决的时候,这是基本经验的正迁移;当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考,让新问题解决不出来的时候,这是基本经验的负迁移.例如,如果(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图2,求证:MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.
(3)如图3,请你继续探索:连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.
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▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1中,作NE⊥OB于E,
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∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,
∴∠DMO=∠MNE,
在△DMO和△MNE中,
,
∴△DMO△MNE,
∴ME=DO=2,NE=OM=a,
∴OE=OM+ME=2+a,
∴点N坐标(2+a,a),
故答案为N(2+a,a).
(2)证明:如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,
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∵OD=OB,OH=OM,∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180-45=135°,
∵NB平分∠CBE,∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180-45=135°,∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠DMO=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
在△DHM和△MBN中,
,
∴△DHM≌△MBN(ASA),
∴DM=MN.
(3)结论:MN平分∠FMB成立.
证明:如图3中,在BO延长线上取OA=CF,
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在△AOD和△FCD中,
∴△DOA≌△DCF,
∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,
∵∠MDN=45°,
∴∠CDF+∠ODM=45°,
∴∠ADO+∠ODM=45°,
∴∠ADM=∠FDM,
在△DMA和△DMF中,
,
∴△DMA≌△DMF,
∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,
过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,
由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,
∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.
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∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,
∴∠DMO=∠MNE,
在△DMO和△MNE中,
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∴△DMO△MNE,
∴ME=DO=2,NE=OM=a,
∴OE=OM+ME=2+a,
∴点N坐标(2+a,a),
故答案为N(2+a,a).
(2)证明:如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,
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∵OD=OB,OH=OM,∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180-45=135°,
∵NB平分∠CBE,∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180-45=135°,∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠DMO=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
在△DHM和△MBN中,
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∴△DHM≌△MBN(ASA),
∴DM=MN.
(3)结论:MN平分∠FMB成立.
证明:如图3中,在BO延长线上取OA=CF,
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在△AOD和△FCD中,
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∴△DOA≌△DCF,
∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,
∵∠MDN=45°,
∴∠CDF+∠ODM=45°,
∴∠ADO+∠ODM=45°,
∴∠ADM=∠FDM,
在△DMA和△DMF中,
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∴△DMA≌△DMF,
∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,
过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,
由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,
∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.
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